Aplanem la corba! - La normal i el seu estudi
Els científics diem que molts experiments reals tenen un comportament normal, però què vol dir això? Què vol dir que quelcom sigui normal?
Posem un exemple molt pràctic i entenedor: L’alçada de les persones.
La mitjana de l’alçada de les persones a Espanya és de 1,71m. Què vol dir això? Doncs que la majoria de persones mesurarà a prop de 1,71. O dit d’una altra forma, a mesura que ens allunyem del 1,71m la probabilitat de trobar persones es va disminuint, i aquesta disminució és més forta a mesura que ens allunyem d'aquesta mitjana: És més probable trobar-te persones que mesuren 1,70m que no pas 2m o persones de 1,4m.
Si això ho representem (Gauss, Galton i altres matemàtics ja ho varen fer) obtindríem una gràfica com la següent (la típica campana de Gauss) on el centre (en el cas de l’exemple de les alçades) és el 1,71m.
Aquestes gràfiques les trobem amb molts successos de la vida quotidiana. I en tots aquests successos, els matemàtics diem que tenen un comportament normal (segueixen una distribució normal). El centre d'aquesta campana és la mitjana, i la dispersió ens la dóna la desviació.
Però si volem ser més rigorosos, a la realitat, aquestes “campanes” tenen una mica de distorsions, no són tan simètriques i tampoc tenen aquest turó (poden ser més abruptes o més planes). I és per això, que els matemàtics hem introduït dos conceptes per quantificar com de “deformada” estarà una corba normal.
Simetria: estudia com de simètrica o asimètrica és una corba; és a dir, si la dobleguem per la meitat (la mitjana), les dues parts s’assemblen? Aquesta mesura es fa a partir de dos índexs: la simetria de Pearson o la de Fisher, els dos ens donen valors de com simètrica és o no la nostra corba. Però molts cops, visualment podem intuir-ho amb la gràfica.
La curtosi: el que ens assenyala aquest índex, és com de concentrades estan, o no, les dades. És a dir, si tenim una muntanya molt alta o un turó més aviat baix. En l’exemple de les alçades, si la majoria de la població té una alçada propera a la mitjana, aleshores, la curtosi és positiva i això voldrà dir tenir una campana de Gauss amb una muntanya molt alta. En canvi, si la dispersió és alta, és a dir, tenim moltes alçades diferents i poc concentrades a la mitjana, la curtosi serà negativa, això voldrà dir tenir una campana de Gauss aplanada.
Relació amb la Covid:
Molt s’ha parlat d’aplanar la corba de la Covid. Però que volia dir? Ara ja tenim resultats, i observem que les corbes de "quants nous infectats tenim a la població" és molt semblant a una campana de Gauss (en matemàtiques, molts cops modelitzem i aproximem resultats; és a dir, agafem funcions més senzilles per explicar-nos el perquè de les coses, i després de treure conclusions amb el model senzill comprovem si són efectives amb la realitat).
Observem que no és simètrica la corba d’Espanya. Queda molt clar on està el centre (el pic ens ho indica), l’esquerra té una velocitat de creixement molt gran, i a la dreta, una velocitat de decreixement més modest. Això fa que la simetria no sigui del tot exacta.
En canvi, a Austràlia o Àustria, són prou simètriques.
La curtosi a Espanya és més aviat alta. Tot i que podem dividir amb dos corbes i una, abans de passar el pic, té més curtosi (té un pic més alt). I l'altra corba, després de passar el pic, té una curtosi més baixa (aquest pic està estancat en una alçada baixa).
En canvi, a Eslovàquia, passa el contrari, van anar lents a pujar el nombre de contagiats (la curtosi a l’esquerra és baixa) i després del pic va haver-hi una desescalada dràstica (la curtosi a la dreta és molt alta).
En les regions Austràlia i Àustria, la curtosi és alta i simètrica.
Posem un exemple molt pràctic i entenedor: L’alçada de les persones.
La mitjana de l’alçada de les persones a Espanya és de 1,71m. Què vol dir això? Doncs que la majoria de persones mesurarà a prop de 1,71. O dit d’una altra forma, a mesura que ens allunyem del 1,71m la probabilitat de trobar persones es va disminuint, i aquesta disminució és més forta a mesura que ens allunyem d'aquesta mitjana: És més probable trobar-te persones que mesuren 1,70m que no pas 2m o persones de 1,4m.
Si això ho representem (Gauss, Galton i altres matemàtics ja ho varen fer) obtindríem una gràfica com la següent (la típica campana de Gauss) on el centre (en el cas de l’exemple de les alçades) és el 1,71m.
Aquestes gràfiques les trobem amb molts successos de la vida quotidiana. I en tots aquests successos, els matemàtics diem que tenen un comportament normal (segueixen una distribució normal). El centre d'aquesta campana és la mitjana, i la dispersió ens la dóna la desviació.
Però si volem ser més rigorosos, a la realitat, aquestes “campanes” tenen una mica de distorsions, no són tan simètriques i tampoc tenen aquest turó (poden ser més abruptes o més planes). I és per això, que els matemàtics hem introduït dos conceptes per quantificar com de “deformada” estarà una corba normal.
Simetria: estudia com de simètrica o asimètrica és una corba; és a dir, si la dobleguem per la meitat (la mitjana), les dues parts s’assemblen? Aquesta mesura es fa a partir de dos índexs: la simetria de Pearson o la de Fisher, els dos ens donen valors de com simètrica és o no la nostra corba. Però molts cops, visualment podem intuir-ho amb la gràfica.
La curtosi: el que ens assenyala aquest índex, és com de concentrades estan, o no, les dades. És a dir, si tenim una muntanya molt alta o un turó més aviat baix. En l’exemple de les alçades, si la majoria de la població té una alçada propera a la mitjana, aleshores, la curtosi és positiva i això voldrà dir tenir una campana de Gauss amb una muntanya molt alta. En canvi, si la dispersió és alta, és a dir, tenim moltes alçades diferents i poc concentrades a la mitjana, la curtosi serà negativa, això voldrà dir tenir una campana de Gauss aplanada.
Relació amb la Covid:
Molt s’ha parlat d’aplanar la corba de la Covid. Però que volia dir? Ara ja tenim resultats, i observem que les corbes de "quants nous infectats tenim a la població" és molt semblant a una campana de Gauss (en matemàtiques, molts cops modelitzem i aproximem resultats; és a dir, agafem funcions més senzilles per explicar-nos el perquè de les coses, i després de treure conclusions amb el model senzill comprovem si són efectives amb la realitat).
Observem que no és simètrica la corba d’Espanya. Queda molt clar on està el centre (el pic ens ho indica), l’esquerra té una velocitat de creixement molt gran, i a la dreta, una velocitat de decreixement més modest. Això fa que la simetria no sigui del tot exacta.
En canvi, a Austràlia o Àustria, són prou simètriques.
La curtosi a Espanya és més aviat alta. Tot i que podem dividir amb dos corbes i una, abans de passar el pic, té més curtosi (té un pic més alt). I l'altra corba, després de passar el pic, té una curtosi més baixa (aquest pic està estancat en una alçada baixa).
En canvi, a Eslovàquia, passa el contrari, van anar lents a pujar el nombre de contagiats (la curtosi a l’esquerra és baixa) i després del pic va haver-hi una desescalada dràstica (la curtosi a la dreta és molt alta).
En les regions Austràlia i Àustria, la curtosi és alta i simètrica.
Dades alçada: https://cat.elpais.com/cat/2016/07/22/ciencia/1469204447_706735.html
Campana de Gauss - Màquina de Galton: https://www.youtube.com/watch?v=ZmLfdzOGfg8.
Teoria i material d'estadística: https://sites.google.com/site/andreuarbotrabadoeportafolis/Estadistica?authuser=0