Aplanem la corba! - La distribució normal, la simetria i la curtosi explicades amb la COVID-19
En estadística i ciència sovint diem que un fenomen té un comportament normal, però què vol dir realment això?
Per entendre-ho sense complicacions, pensem en l'alçada de la població. A Espanya, l'alçada mitjana és de 1,71 m. La majoria de persones mesuren un valor molt proper a aquesta xifra. A mesura que ens allunyem d'aquesta mitjana (cap als 2,00 m o cap als 1,40 m), la probabilitat de trobar algú amb aquestes alçades disminueix dràsticament.
Quan matemàtics com Gauss o Galton (entre altres) van dibuixar aquesta freqüència, van trobar la famosa campana de Gauss: una corba simètrica on el centre és la mitjana i l'amplada depèn de la dispersió (desviació típica).
Com mesurem les "deformacions" de la realitat "normal"?
En el món real, les corbes de freqüència poques vegades són perfectes. Però són corves aproximadament semblants a aquesta campana de Gauss. Però sovint presenten distorsions, asimetries o pics més o menys pronunciats. Per quantificar com es deforma una corba respecte a la distribució normal teòrica, fem servir dos conceptes clau:
La Simetria (Asimetria / Skewness): Estudia si la corba és idèntica a banda i banda de la mitjana. Si la pleguéssim pel centre, es solaparien les dues meitats?
- Simètrica: Les dues meitats són iguals.
- Asimètrica: Una de les "cues" és més llarga que l'altra.
Aquesta mesura es fa a partir de dos índexs: la simetria de Pearson o la de Fisher, els dos ens donen valors de com simètrica és o no la nostra corba. Però molts cops, visualment podem intuir-ho amb la gràfica.
La Curtosi (Apuntament / Kurtosis): Mesura el grau de concentració de les dades al voltant del centre (si tenim un pic punxegut o un turó aplanat):
- Curtosi positiva (Leptocúrtica): Dades molt concentrades al voltant de la mitjana (muntanya alta i estreta).
- Curtosi negativa (Platicúrtica): Dades molt disperses (muntanya aplanada i baixa).
El modelat estadístic aplicat a la COVID-19
Quan s'insisteix en "aplanar la corba" en aquesta epidèmia de la Covid, s'està demanant literalment reduir la curtosi de la corba de nous contagis (en ciències utilitzen matemàtiques modelitzades: aproximem resultats; és a dir, agafem funcions més senzilles per explicar-nos el perquè de les coses, i després de treure conclusions amb el model senzill comprovem si són efectives amb la realitat. Tota això és fa per evitar el col·lapse dels mitjans sanitaris.
A l'hora de comparar les corbes de contagis diaris entre països, la combinació de simetria i curtosi ens explica com va evolucionar l'epidèmia en cada territori:
- Espanya (Asimètrica i de curtosi alta): Va tenir un creixement de contagis extremadament ràpid (pujada molt vertical / alta curtosi inicial) i una desescalada molt més lenta i sostinguda en el temps (cua dreta llarga / asimetria).
- Austràlia i Àustria (Simètriques i de curtosi alta): Van aconseguir corbes molt homogènies, amb velocitats de pujada i baixada de contagis pràcticament idèntics.
- Eslovàquia (Asimetria inversa): Va experimentar un creixement inicial molt lent (baixa curtosi a l'esquerra) seguit d'una desescalada dràstica i ràpida després d'assolir el pic (alta curtosi a la dreta).
Dades alçada: https://cat.elpais.com/cat/2016/07/22/ciencia/1469204447_706735.html
Campana de Gauss - Màquina de Galton: https://www.youtube.com/watch?v=ZmLfdzOGfg8.
Teoria i material d'estadística: https://sites.google.com/site/andreuarbotrabadoeportafolis/Estadistica?authuser=0