Demostracions, un art com un altre...




La humanitat sempre ha hagut d’intentar controlar la naturalesa. Així, per exemple, se sap que a la prehistòria, una de les primeres comunicacions va ser l’ús del càlcul[1], i és que feien ús de les pedres per controlar el nombre de caçadors que tornaven de buscar menjar, i s’han trobat ossos amb marques per mesurar o comptabilitzar de molt abans; els antics egipcis van desenvolupar la matemàtica per la necessitat de distribuir els terrenys del riu Nil després de les modificacions que anualment tenia; els babilonis van aportar un control extraordinari del temps i d’ells encara tenim la numeració en base seixanta de les hores, minuts i segons; els grecs van controlar la geometria, ajudant-los a millorar les construccions... 

Aquí rau la necessitat de la matemàtica, és un llenguatge per traduir de forma objectiva una qüestió de la vida quotidiana, i amb certa lògica trobar una solució. 

Ara sabem que la majoria de problemes els podem plantejar com equacions. I és aquesta excusa la que em porta a parlar d’aquesta eina matemàtica (en concret de les equacions polinòmiques). 

La resolució d’equacions de primer grau, ax=b, ja era coneguda pels Egipcis, Babilonis... i és que intuïtivament, si coneixem els nombres oportuns, podem resoldre-la. 

De ben petit si et pregunten, si en una capsa tenim un cert nombre de caramels i sé que si li trec dos em quedaran 5, quants caramels tenia inicialment?, la resposta és fàcil, set... x-2=5→x=7 .[2]     

Però i les equacions de segon grau? I les de tercer? Quart?...

En el 2500 aC ja es coneixia la solució d’equacions de segon grau, aquestes resolucions la van trobar els Babilonis després d’observar el moviment dels cossos amb un tir parabòlic (aquest saber s’aprofitaria a l’edat mitjana i moderna per controlar la balística, és a dir, el llançament de canons, propulsant França com una potència matemàtica i armamentística).[3]

La resolució d’equacions de segon grau ens l’ensenyen a 4t de secundària a tot tardar. I la seva demostració és bo ensenyar-la, no pas per aprendre-la, sinó per comprendre-la en el moment in situ de fer-la; observar com persones van tenir la capacitat d’imaginació i talent matemàtic per fer els passos oportuns per trobar la resolució d’una equació genèrica de 2n grau és molt educatiu.    

3000 anys després dels Babilonis, els àrabs van poder transcriure en l’Almagest els pocs documents que van sobreviure a la crema de les dues grans biblioteques del món (la de Babilònia i la d’Alexandria). En un d’ells van poder salvar les demostracions geomètriques de les equacions de segon grau, però eren complicades i a més diferenciaven tres formes diferents d’aquestes. 

Els grecs, després de calcular els epicicles de les errants (els planetes), van començar a preguntar-se com poder resoldre les equacions de tercer grau, però fins al renaixement no es va retornar a aquest problema.

Va ser llavors, un cop l’escriptura lògica i l’àlgebra van estar prou avançades, que la resolució d’equacions de segon grau de forma genèrica va ser molt senzill, i es va reprendre la pregunta de les equacions de grau superior.

Fibonacci (Leonardo de Pisa) i Luca Pacioli van aconseguir resoldre alguns casos particulars d’equacions de tercer grau. Però no va ser fins al segle XVI que simultàniament van resoldre-ho els matemàtics Del Ferro, Cardano i Tartaglia (Nicola Fontana). No obstant això van estar publicades després de morts, ja que en aquell temps els matemàtics intentaven amagar tots els seus resultats perquè d’altres no aprofitessin la seva feina.

Il•lustració 1 - D'esquerra a dreta: Del Ferro, Cardano i Tartaglia  (commons.wikimedia.org)

A més a més, Tartaglia va ser traït pel seu deixeble Cardano i la va utilitzar sense consentiment del seu mestre (és una història apassionant que intentaré explicar amb una nova entrada). 

Després de trobar la resolució d’equacions de tercer grau, fàcilment es van trobar la resolució de les de quart... I per tant, la pregunta quedava clara... quan trobaríem la resolució de les equacions de cinquè? I les de sisè? ... Aquesta resposta la donaré a la pròxima entrada i serà més de caràcter divulgatiu (una lectura molt més tranquil•la que no pas aquesta que hi ha una demostració que molts la trobareu feixuga, però que altres la trobem brillant).

Aquí ens centrarem amb la resolució de les equacions de tercer grau. Anem a veure l’enginy i la perícia dels matemàtics per poder aïllar la incògnita d’una equació de tercer grau.

No vulgueu llegir-la ràpida, intenteu entendre cada pas, més que entendre perquè ho fan (que això seria un nivell superior de comprensió) intenteu acceptar que els passos són correctes.

Sobretot ens xocarà l’ús continu que es fa de canvis de variable, això no deixa de ser moviments en el pla o transformacions lineals que no afecten l’estructura clau de les equacions.


No us preocupeu si en un pas teniu dubtes de la seva veracitat, seguiu endavant i guardeu-vos aquest dubte per preguntar-lo amb algun amic matemàtic.   


Descarrega'l en pdf per poder-lo veure bé.






[1] Càlcul ve del grec “pedra”. 
[2] Un dia parlarem de la mala tècnica mnemotècnica de “si està sumant passa restant, si està multiplicant, passa dividint”.
[3]Podeu aprendre com resolien els Babilonis les equacions de 2n grau al document Història de les matemàtiques.